\documentclass{amsart}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[all]{xy}

\DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}
\newcommand{\longto}{\longrightarrow}
\newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}}
\renewcommand{\:}{\colon}
\newcommand{\<}{\langle}
\renewcommand{\>}{\rangle}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}

\parindent=0pt
\parskip=\medskipamount

\begin{document}

\emph{Hver deloppgave gir 10 poeng ved helt tilfredsstillende svar.
Det kreves 40 eller flere poeng (av 100) for best{\aa}tt besvarelse.
Merk at det ved Matematisk institutt, UiO, ikke lenger gis fornyede
fors{\o}k ved ikke godkjente obligatoriske innleveringer.  Svar kan
gis p{\aa} norsk og/eller engelsk, eventuelt andre spr{\aa}k etter
avtale.}

La $R$ v{\ae}re en kommutativ ring og $n\ge0$ et heltall.  Med et
``$R$-orientert $n$-dimensjo\-nalt Poincar{\'e}-kompleks'' mener vi et
endelig CW-kompleks~$X$ og en homologiklasse $\mu \in H_n(X; R)$ slik
at cap-produktet
$$
\mu \cap \: H^k(X; R) \longto H_{n-k}(X; R)
$$
(definert som i [Hatcher, side 240])
er en isomorfi for hver $k \in \bZ$.  Med et ``$R$-orientert
$n$-dimensjonalt Poincar{\'e}-par'' mener vi et endelig
CW-par~$(X, A)$ og en homologiklasse $\nu \in H_n(X, A; R)$ slik at
cap-produktet
$$
\nu \cap \: H^k(X; R) \longto H_{n-k}(X, A; R)
$$
er en isomorfi for hver $k \in \bZ$.  Merk at $\nu$ ogs{\aa} definerer
et cap-produkt
$$
\nu \cap \: H^k(X, A; R) \longto H_{n-k}(X; R) \,,
$$
slik at notasjonen $\nu \cap$ kan referere til to forskjellige
homomorfier.

\emph{Oppgave 1: Forklar (med henvisning til resultater i l{\ae}reboken)
hvordan en $R$-ori\-entert lukket $n$-mangfoldighet~$M$ kan oppfattes som
et $R$-orientert $n$-dimensjonalt Poincar{\'e}-kompleks, og hvordan
en $R$-orientert kompakt $n$-mangfoldighet~$M$ med rand~$\partial M$
kan oppfattes som et $R$-orientert $n$-dimensjonalt Poincar{\'e}-par.}

Hvis $(M, \partial M)$ er en $R$-orientert kompakt $n$-mangfoldighet
s{\aa} er $\partial M$ en $R$-orientert lukket $(n-1)$-mangfoldighet.
Hvis $(M_s, \partial M_s)$ for $s \in \{1,2\}$ er $R$-orienterte kompakte
$n$-mangfoldigheter, og $\partial M_1 = \partial M_2 = M_1 \cap M_2$
mottar motsatte $R$-orienteringer fra~$M_1$ og fra~$M_2$, s{\aa} er $M_1
\cup M_2$ en $R$-orientert lukket $n$-mangfoldighet.  Vi skal generalisere
dette fra mangfoldigheter til Poincar{\'e}-komplekser.

Anta heretter at $R$ er en kropp.

For et $R$-vektorrom~$V$, la $V^\vee := \Hom_R(V, R)$ betegne det
duale vektorrommet.  La $\rho \: V \to V^{\vee\vee}$ sende $v \in V$
til homomorfien $V^\vee \to R$ som tar $f \: V \to R$ til $f(v)$.
Homomorfien $h \: H^k(X, A; R) \to H_k(X, A; R)^\vee$ er gitt ved
$h([\varphi]) \: [\alpha] \mapsto \varphi(\alpha)$, der $\delta\varphi
= 0$ og $\partial\alpha = 0$, og tilsvarende med $A = \emptyset$.
Det kan v{\ae}re nyttig {\aa} bruke notasjonen $\<x, a\> := h(x)(a)
= \varphi(\alpha)$ der $x = [\varphi]$ og $a = [\alpha]$, kjent som
`Kronecker-paringen'.

\emph{Oppgave 2: Begrunn hvorfor de tre homomorfiene
$$
H^{n-k}(X, A; R) \overset{h}\longto H_{n-k}(X, A; R)^\vee
$$
og
$$
H_k(X; R) \overset{\rho}\longto H_k(X; R)^{\vee\vee}
	\overset{h^\vee}\longto H^k(X; R)^\vee
$$
er isomorfier.}

\emph{Oppgave 3: 
For $x \in H^k(X; R)$ og $y \in H^{n-k}(X, A; R)$, vis (med
henvisning til resonnementer i l{\ae}reboken) at
$$
y \cup x = (-1)^{k(n-k)} x \cup y
$$
i $H^n(X, A; R)$.}

\emph{Oppgave 4:
Vis at sammensetningen
$$
H^{n-k}(X, A; R) \overset{h}\longto H_{n-k}(X, A; R)^\vee
	\overset{(\nu \cap)^\vee}\longto H^k(X; R)^\vee
$$
er lik sammensetningen
$$
H^{n-k}(X, A; R) \overset{\nu \cap}\longto H_k(X; R)
	\overset{\rho}\longto H_k(X; R)^{\vee\vee}
	\overset{h^\vee}\longto H^k(X; R)^\vee \,,
$$
opp til et fortegn.  Hva er dette fortegnet?}

\emph{Oppgave 5:
Utled fra resultatene over at hvis $(X, A)$ med $\nu \in H_n(X, A; R)$
danner et $R$-orientert $n$-dimensjonalt Poincar{\'e}-par, s{\aa} er
$$
\nu \cap \: H^k(X, A; R) \longto H_{n-k}(X; R)
$$
en isomorfi for alle $k \in \bZ$.}

Den omvendte implikasjonen gjelder ogs{\aa}, men du bes ikke
om {\aa} vise dette.

\emph{Oppgave 6:
La $\nu \in H_n(X, A; R)$, med bilde $\partial\nu \in
H_{n-1}(A; R)$ under forbindelseshomomorfien.  Vis at diagrammet
$$
\xymatrix{
H^k(X, A; R) \ar[r]^-{j^*} \ar[d]^-{\nu \cap}
	& H^k(X; R) \ar[r]^-{i^*} \ar[d]^-{\nu \cap}
	& H^k(A; R) \ar[r]^-{\delta} \ar[d]^-{\partial\nu \cap}
	& H^{k+1}(X, A; R) \ar[d]^-{\nu \cap} \\
H_{n-k}(X; R) \ar[r]^-{j_*}
	& H_{n-k}(X, A; R) \ar[r]^-{\partial}
	& H_{n-k-1}(A; R) \ar[r]^-{i_*}
	& H_{n-k-1}(X; R)
}
$$
kommuterer, opp til fortegn.}

\emph{Oppgave 7:
Utled fra resultatene over at hvis $(X, A)$ med $\nu \in H_n(X, A;
R)$ er et $R$-orientert $n$-dimensjonalt Poincar{\'e}-par, s{\aa}
danner $A$ med $\mu' = \partial\nu \in H_{n-1}(A; R)$ et $R$-orientert
$(n-1)$-dimensjonalt Poincar{\'e}-kompleks.}

La $(X_s, A)$ med $\nu_s \in H_n(X_s, A; R)$, for $s \in \{1,2\}$,
v{\ae}re to $R$-orienterte $n$-dimen\-sjonale Poincar{\'e}-par, med $X_1
\cap X_2 = A$.  Anta at
$$
\partial_1\nu_1 = - \partial_2\nu_2 \in H_{n-1}(A; R) \,,
$$
der $\partial_s$ er forbindelseshomomorfien for paret~$(X_s, A)$.  La $Y =
X_1 \cup X_2$ med CW-strukturen der $X_1$ og $X_2$ er underkomplekser.

\emph{Oppgave 8:
Vis at det finnes en $\mu \in H_n(Y; R)$ slik at
$$
j_*(\mu) = i_{1*}(\nu_1) + i_{2*}(\nu_2) \in H_n(Y, A; R) \,,
$$
der $j \: (Y, \emptyset) \to (Y, A)$ og $i_s \: (X_s,
A) \to (Y, A)$ for $s \in \{1,2\}$ er inklusjonsavbildninger.
Bestemmer dette $\mu$ entydig?  Begrunn svaret.}

\emph{Oppgave 9:
Vis at diagrammet
$$
\xymatrix@C-10pt{
H^{k-1}(A; R) \ar[r]^-{\delta} \ar[d]^-{\partial_1 \nu_1 \cap}
	& H^k(Y; R) \ar[r]^-{\Psi} \ar[d]^-{\mu \cap}
	& H^k(X_1; R) \oplus H^k(X_2; R) \ar[r]^-{\Phi}
		\ar[d]^-{\nu_1 \cap \oplus \nu_2 \cap}
	& H^k(A; R) \ar[d]^-{\partial_1 \nu_1 \cap} \\
H_{n-k}(A; R) \ar[r]_-{i_*}
	& H_{n-k}(Y; R) \ar[r]^-{} \ar[dr]_-{j_*}
	& H_{n-k}(X_1, A; R) \oplus H_{n-k}(X_2, A; R)
		\ar[r]^-{\partial_1+\partial_2}
	\ar[d]^-{i_{1*} + i_{2*}}_-{\cong}
	& H_{n-k-1}(A; R) \\
& & H_{n-k}(Y, A; R) \ar[ur]_-{\partial}
}
$$
kommuterer, opp til fortegn i kvadratene.  (Den {\o}verste raden er
Mayer--Vietoris sekvensen i kohomologi.)}

\emph{Oppgave 10:
Utled fra resultatene over at $Y = X_1 \cup X_2$ med $\mu \in H_n(Y;
R)$ er et $R$-orientert $n$-dimensjonalt Poincar{\'e}-kompleks.}

Kilder og videre lesning:

\begin{itemize}

\item
William Browder,
\emph{Surgery on simply-connected manifolds},
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 65.
Springer-Verlag, 1972.

\item
Allen Hatcher,
\emph{Algebraic topology},
Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

\item
C.~T.~C. Wall,
\emph{Poincar{\'e} complexes. I.},
Annals of Mathematics (2) {\bf 86} (1967), 213--245. 

\end{itemize}

\end{document}
