\documentclass[11pt,a4paper]{report}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath} % For \mathbb
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{hyperref}


%% Numbered exercises
\newcounter{excount}[chapter]
\newenvironment{exercise}[1][]{\addtocounter{excount}{1} \noindent {\bf Oppgave
    \arabic{excount} \ \ #1}\hspace{2mm}}{\vspace{4mm}}


\title{Midtermineksamen FYS3110\\ H酶st 2020}
\author{}


\begin{document}

\maketitle

\addtocounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Preamble
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Viktig informasjon:}
\begin{itemize}
\item
Besvarelsen skal leveres elektronisk som pdf-fil i Inspera, enten generert fra \LaTeX\  eller scannet, senest fredag 9. oktober klokken  14.00.
\item
Fristen er absolutt, men du kan levere eksamen flere ganger. Bare den siste innsendingen vil bli vurdert.
\item
Denne midtermineksamen teller omlag 25\% av den totale karakteren i FYS3110.
\item
Du st氓r fritt til 氓 bruke alle hjelpemidler, og du har anledning til 氓 篮球即时比分_nba比分直播-彩客网重点推荐e med dine medstudenter for 氓 l酶se oppgavene. Imidlertid m氓 besvarelsen v忙re din egen, og de vanlige reglene for plagiat gjelder for innholdet.
\item
H酶yeste mulige poengsum for denne eksamen er 25 poeng. Opp til ett poeng vil bli gitt for klare, konsise og velformulerte svar, inkludert passende figurer og/eller diagrammer.
\item
En liten advarsel: det er ikke gitt at oppgavene denne gangen g氓r fra middels vanskelig til mer utfordrende, vanskelighetsgraden er litt frem og tilbake, og de fleste av oppgavene kan gj酶res uten 氓 ha f氓tt til alle foreg氓ende.
\item
Lykke til!
% Ikke at du trenger det selvf酶lgelig.
\end{itemize}

\cleardoublepage




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exercise}{\bf En super symmetri\\}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Vi definerer to operatorer 
\begin{equation}
\hat A \equiv i\frac{\hat p}{\sqrt{2m}}+W(\hat x), 
\quad \text{og} \quad
\hat A^\dagger = -i\frac{\hat p}{\sqrt{2m}}+W(\hat x),
\end{equation}
hvor $W$ er en differensierbar funksjon av en variabel.

\begin{itemize}
\item[{\bf a)}] 
Vis at Hamiltonoperatorene 
\begin{equation}
    \hat H_-\equiv \hat A^\dagger\hat A = \frac{\hat p^2}{2m}+V_-(x)
    , \quad \text{og} \quad
    \hat H_+\equiv \hat A\hat A^\dagger= \frac{\hat p^2}{2m}+V_+(x),
    \label{eq:Hamilton_def}
\end{equation}
hvor $m$ tolkes som massen til en partikkel, er hermitiske, og finn $V_-$ og $V_+$ uttrykt ved $W$ i posisjonsbasisen. 
[3 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf b)}] 
Vis at dersom $|n^-\rangle$ er en normert egentilstand til $\hat H_-$ med egenverdi $E_n$ s氓 er $\hat A|n^-\rangle$ en egentilstand til $\hat H_+$  med samme egenverdi, og vis at dersom $|m^+\rangle$ er en normert egentilstand til $\hat H_+$ med egenverdi $E_m$, s氓 er $\hat A^\dagger|m^+\rangle$ en egentilstand til $\hat H_-$ med samme egenverdi. Finn den korrekte normeringen for begge de nye tilstandene. [3 poeng]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf c)}] Vis at egenverdiene til $\hat H_-$ og $\hat H_+$ aldri er negative. [2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf d)}] Gitt at det finnes en vakuumtilstand $|0\rangle$ for $\hat H_-$ med den lavest mulige egenverdien $E_0=0$, vis at $\hat A|0\rangle$ er nullvektoren. Kommenter svaret i lys av oppgave {\bf b)}. [2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf e)}] Bruk resultatet i oppgave {\bf d)} til 氓 finne b酶lgefunksjonen for en egentilstand $|0\rangle$ til $\hat H_-$ med energi $E_0=0$, uttrykt ved hjelp av $W(x)$. Hva slags krav m氓 vi stille til $W(x)$ for at denne b酶lgefunksjonen skal v忙re normerbar? [3 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf f)}] Kan vakuumtilstandene til $\hat H_-$ og $\hat H_+$ begge ha null energi? Begrunn svaret. [1 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf g)}] Gitt potensialet 
\begin{equation}
V(x)=V_0\left(\frac{2}{\sin^2\frac{\pi x}{a}}-1\right),
\end{equation}
definert p氓 intervallet $(0,a)$,\footnote{Og uendelig utenfor.} vis at Hamiltonoperatoren til systemet kan skrives p氓 samme form som en av Hamiltonoperatorene i  (\ref{eq:Hamilton_def}). Finn den tilh酶rende funksjonen $W(x)$ og bunnpunktet $V_0$. {\it Hint:} 
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\frac{1}{\tan x}=-\frac{1}{\sin^2x}.
\end{equation} [2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf h)}]
Finn alle egenverdiene til Hamiltonoperatoren til systemet i {\bf g)}, samt eksplisitte uttrykk for de tilh酶rende normerte b酶lgefunksjonene. Du kan anta at alle l酶sningene i kap.\ 2 i Griffiths er kjent. 
[3 poeng]
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Vi kan samle de to Hamiltonoperatorene i
\begin{equation}
    \hat H = \left[\begin{matrix} \hat H_- & 0 \\ 0 & \hat H_+ \end{matrix}\right],
\end{equation}
for 氓 studere begge systemene samtidig, hvor de tidligere tilstandene n氓 er komponenter i en to-komponents vektor som den nye Hamiltonoperatoren $\hat H$ virker p氓. Vi definerer samtidig to nye operatorer 
\begin{equation}
    \hat Q \equiv \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ \hat A&0 \end{matrix}\right]
    \quad \text{og} \quad
    \hat Q^\dagger= \left[ \begin{matrix} 0 & \hat A^\dagger \\ 0 & 0 \end{matrix} \right].
\end{equation}

\begin{itemize}
\item[{\bf i)}] Vi kaller
\begin{equation}
\{\hat A,\hat B\}\equiv\hat A\hat B+\hat B\hat A,
\end{equation}
for {\bf antikommutatoren} til operatorene $\hat A$ og $\hat B$. Vis at Hamiltonoperatoren kan skrives som 
\begin{equation}
\{\hat Q^\dagger,\hat Q\}=\hat H.\label{eq:Qantikom}
\end{equation}
[2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf j)}] Vis at $\hat Q$ og $\hat Q^\dagger$ kommuterer med Hamiltonoperatoren $\hat H$,
\begin{equation}
    [\hat Q, \hat H]=0.
\end{equation}
[2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf k)}] Gitt at $|n\rangle$ er en egentilstand til $\hat H$, vis at $\hat Q|n\rangle$ og $\hat Q^\dagger|n\rangle$ er egentilstander med samme energi. Implikasjonen av dette er at $\hat Q$ representerer  en (super) symmetri for systemet beskrevet av $\hat H$; energien er bevart under bruk av $\hat Q$. [1 poeng] 

\end{itemize}
\end{exercise}
\end{document}


% Bacon ipsum dolor amet boudin leberkas rump, prosciutto beef ribs cupim spare ribs meatball. Fatback kevin pork chop bresaola. Buffalo turkey corned beef capicola cupim. Pork capicola burgdoggen ribeye tail pancetta. Sirloin filet mignon turducken, shankle landjaeger prosciutto kielbasa bacon biltong strip steak salami doner capicola. Ground round pork bresaola, spare ribs jerky pork belly burgdoggen brisket tri-tip alcatra.