Det er helt utrolig, statsministeren i Thestrals mektigste land har latt seg imponere av arbeidet v?rt!! Lenge har vi konkurrert med SpaceX om statlig st?tte for rakettprosjektet, men i g?r tok hun valget om ? prioritere oss. I praksis betyr det at vi f?r enda flere ressurser til byggingen av raketten: Materialer, verksted, verkt?y og ikke minst penger! Denne st?tten kommer til ? bli avgj?rende for gjennomf?ringen av prosjektet, vi er utrolig takknemlige! N? er det ikke lenge til vi kan skyte opp TORTA!!
N? som vi har f?tt til ? simulere partiklene i kammeret kan vi se n?rmere p? hva som skjer i kammeret under oppskytning. Det f?rste vi skal se p? er trykket. Trykk er definert som:
\(P=\frac{F}{A}\)
Hvor \(F\) er kraften som virker p? et omr?de og \(A\) er arealet til omr?det som dyttes p? av kraften. Fra fysikken er dere godt kjent med Newtons andre lov:
\(F=ma\)
Hvor \(F\) er summen av kreftene p? et legeme, \(m\) er legemets masse, og \(a\) er akselerasjonen. Dere er nok ogs? allerede godt kjent med at akselerasjonen er den deriverte til farten, \(a=v'\).
En annen m?te ? skrive \(v'\) p?, er \(v'=\frac{dv}{dt}\). I uttrykket kan vi alts? erstatte \(ma\) med \(m\frac{dv}{dt}\), som ogs? kan skrives som \(\frac{dmv}{dt}\). Men vent n? litt, \(mv\) er jo bevegelsesmengden, \(p\)! S?:
\(F = \frac{dp}{dt}\)
Hvor \(dp\) er endring i bevegelsesmengden til partikkelen, og \(dt \) er endring i tiden. Og n? skal vi gj?re noe som er sett p? som Haram i matteverden. S? om du er en matematiker som leser dette, s? anbefaler jeg med hele hjerte ? se vekk. Om du er en fysiker derimot er det bare ? danse salsa, og respektere tryllekunsten. En, to, tre n? skjer det:
\(F = \frac{dp}{dt}=\frac{\Delta p}{\Delta t}\)
Vi vet fra f?r at jo h?yere temperatur gassen har, jo fortere beveger molekylene seg. P? figur 1 fikk vi v?r gode venn Van Gogh til ? tegne bevegelsen til en av partiklene n?r den kolliderer med veggen, og tegningen kunne ikke v?rt mer perfekt. Figuren illustrer hva som skjer med bevegelsesmengden til partikkelen under st?tet. Klarer dere ? se hva som endrer seg under kollisjonen? Se vekk fra teksten, og pr?vvv ? tenke. Ikke les mer bare pr?v ? tenke. Okei... nydelig, n? har du f?tt tenkt. Det eneste som endrer seg er retningen p? bevegelsesmengden i x-retning! Dette er fordi partikkelens kollisjon med veggen er et elastisk st?t, hvor bevegelsesmengden er bevart. Det betyt alts? at endringen i bevegelsesmengde i x-retning blir:
\(\Delta{p_x} = p_{x_{etter}}-p_{x_{f?r}}= -p_x-p_x=-2p_x\)
St?rrelsen til endringen i bevegelsesmengde blir alts? \(2p_x\). Dette gir oss at kraften i x-retning p? en partikkel svarer til
\(F = \frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2p_x}{\Delta{t}}\)
Med dette kan vi faktisk ganske lett finne ut hva den totale kraften blir. Her er det bare ? gange det med antall partikler som treffer veggen i l?pet av tidsrommet. La oss kalle det for \(n\). Da f?r vi at den totale kraften p? veggene i x-retning m? v?re: \(F = n\cdot\frac{2p_x}{\Delta{t}}\). N?r vi har den totale kraften som virker p? en vegg over et tidsrom \(\Delta t\) kan vi enkelt finne trykket i boksen ved ? dele kraften p? arealet. Hvis vi sier at sidelengden i boksen er \(L\), f?r vi:
\(P=\frac{F}{A}=n\cdot\frac{2p_x}{\Delta t L^2}\)
Hvor \(n\) er antall partikler som kolliderer med veggen i l?pet av tiden \(\Delta t\), \(2p_x\) er endringen i bevegelsesmengde, og \(L^2\) er arealet til veggen.
I dette uttrykket har vi endringen til bevegelsesmengden i x-retning. Hva med de andre retningene? Vil uttrykket bli likt? Ja, retningen har ikke noe ? si! Vi kan heller generalisere uttrykket mer. Dere vet fra f?r at \(p = mv \) og i x-retning har vi at \(p_x=mv_x \). Vi vil skrive v?r \(p_x \) om til \(p \). Dette gj?r vi ved ? se litt n?rmere p? \(v_x\). \(v \) kan skrives om til \(v = \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\). Dette er helt lik som \(v = \sqrt{v_x^2+v_y^2}\) som dere er kjent med fra f?r, bare at vi er n? i tre dimensjoner. Det f?rer til at vi m? legge til en \(v_z^2\). Tingen er at i snitt s? vil fartskomponentene v?re likt fordelt i x,y og z retning. Dermed kan vi skrive
\(v_x\approx v_y\approx v_z\Rightarrow v= \sqrt{v_x^2+v_x^2+v_x^2}= \sqrt{3v_x^2}= \sqrt{3}v_x\Rightarrow v_x=\frac{v}{\sqrt{3}}\)
HEEYYYY, n? begynner gryta v?r ? se bra ut. Siden \(v_x=\frac{v}{\sqrt{3}}\) betyr det at \(p_x=\frac{p}{\sqrt{3}}\). Vi vil skrive det med bevegelsesmengden fordi vi her ?nsker ? finne kraften (\(F=\frac{\Delta p}{\Delta t}\)).
N? er det bare ? sette det inn i formelen v?r \(F = n\cdot\frac{2p_x}{\Delta{t}}=n\cdot\frac{2p}{\Delta{t}\cdot\sqrt{3}}\). La oss smake litt p? gryta v?r. Mmmmm, gryta v?r mangler noe. Vi trenger v?r special ingredient, og det er v?r \(\Delta{t} \). Fordi denne kan skrives om p? en beautiful m?te. La oss se litt n?rmere p? hva v?r \(\Delta{t}\) egentlig beskriver. Jo, \(\Delta{t}\) beskriver tiden det tar for at alle partiklene med hastighet \(|{v_x}|\) kolliderer med veggkanten. Da trenger vi f?rst ? bare se p? partikkelen som ligger lengst unna p? venstresiden. Vi kaller denne partikkelen for Albert. Albert vil ha en fart i \(v_x\) og bevege seg fra sin startposisjon til sin sluttposisjon - med andre ord \(\Delta{x}\). Men samtidig som at Albert er den partikkelen som er lengst unna p? venstre siden av boksen, vil det ogs? v?re en partikkel Drogba som ligger lengst unna p? h?yre siden. Drogba vil ogs? ha en hastighet \(v_x\) og vil bevege seg samme distanse \(\Delta{x}\) bare i motsatt retning. Dermed trenger vi bare ? gj?re en kombinasjon mellom Albert og Drogba. Og da er det faktisk bare ? bruke vei, fart og tid trekanten \(v=\frac{s}{t}\). I v?rt tilfelle f?r vi
\(\Delta{t}=\frac{\Delta{x_{Albert}}+\Delta{x_{Drogba}}} {v_x} =\frac{2\Delta{x}}{v_x}=\frac{2\Delta{x}}{\frac{v}{\sqrt{3}}}=\frac{2\Delta{x}\cdot\sqrt{3}}{v}\)
Da er det bare ? mikse opp gryta v?r, og plassere inn v?r spesial ingredient \( \frac{2\Delta{x}\cdot\sqrt{3}}{v}\).
\(F=n\cdot\frac{2p}{\Delta{t}\cdot\sqrt{3}}=n\cdot\frac{2p}{\frac{2\Delta{x}\cdot\sqrt{3}}{v}\cdot\sqrt{3}}=n\cdot\frac{p\cdot v}{\Delta{x}\cdot3}\)
Uff n? har vi miksa opp en ordentlig michelin gryterett hvor vi fant ut at den totale kraften p? veggen fra de \(n\) partiklene med bevegelsesmengde \(p\) blir : \(F=\frac{1}{3}n\frac{pv}{\Delta{x}}\).
N? som vi har funnet et uttrykk for kraften som virker p? veggen fra partiklene, kan vi finne ut hva trykket blir i beholderen. Hvordan var trykk definert igjen? Jo, som kraft per areal: \(P=\frac{F}{A}\). Vi kan n? sette inn utrykket vi fikk for totalkraften inn i utrykket for trykket i beholderen: \(P=\frac{F}{A}=\frac{1}{3}n\frac{pv}{\Delta{x}}\cdot\frac{1}{A}\). Vi viser dere utledningen av dette uttrykket fordi vi herfra kan komme frem til en mye mer elegant formel! Den sier at
\(P=nkT\)
hvor n er antall partikler per volumenehet, k er Boltzmanns konstant og T er temperaturen til gassen. Dette uttrykket kalles ideell-gass-lov, og gj?r det veldig enkelt ? finne trykket i en ideell gass!
Vi vil gjerne ogs? vise dere hvordan man kan utlede ideell-gass-lov fra det litt styggere uttrykket for trykket vi fant over. Dette forventer vi ikke at dere forst?r alt av!
Vi har at \(P=\frac{1}{3}n\frac{pv}{\Delta{x}}\cdot\frac{1}{A}\). Vi vil skrive dette som en liten endring i trykk \(dP\), og integrere dette uttrykket.
Vi erstatter \(n\) med \(N(p)dp\), hvor \(N(p)\) gir oss antall partikler i en ideell gass med bevegelsesmengde \(p\). Vi har at \(N(p)=n(p)A\Delta x\), hvor \(n(p)\) er Maxwell-Boltzmanns fordelingsfunksjon for bevegelsesmengde. Denne gir oss antall partikler med bevegelsesmengde \(p\) per volumenhet.
Ganger vi \(n(p)\) med \(dp\), f?r vi at produktet \(n(p)dp\) gir oss antall partikler med bevegelsesmengde mellom \(p\) og \(p + dp\). Vi kan dermed f? at
\(P=\frac{1}{3}n\frac{pv}{\Delta{x}}\cdot\frac{1}{A} \)
\(dP=\frac{1}{3}\frac{pv}{\Delta{x}}\cdot\frac{1}{A} \cdot n(p)A\Delta x dp = \frac{1}{3}pv\cdot n(p)dp\)
Vi f?r trykket ved ? integrere \(dP\)!
\(P=\frac{1}{3}\int_0^\infty pvn(p)dp\).
N? skriver vi om \(n(p)\), og setter inn Maxwell-Boltzmann-fordelingen: \(n(p)=nP(p)\). Vi har at \(P(p)=(\frac{1}{2\pi mkT})^\frac{3}{2}e^{-\frac{1}{2}\frac{p^2}{mkt}}4\pi p^2\)
Vi f?r dermed at
\(\begin{equation} \begin{split} P & =\frac{1}{3}\int_0^\infty pvn(\frac{1}{2\pi mkT})^\frac{3}{2}e^{-\frac{1}{2}\frac{p^2}{mkT}}4\pi p^2dp \\ & = \frac{1}{3}n(\frac{1}{2\pi mkT})^\frac{3}{2}4\pi \int_0^\infty vp^3e^{-\frac{1}{2}\frac{p^2}{mkT}}dp \end{split} \end{equation}\)
Setter inn \(v=\frac{p}{m}\).
\(P=\frac{1}{3}n(\frac{1}{2\pi mkT})^\frac{3}{2}4\pi \int_0^\infty \frac{p^4}{m}e^{-\frac{1}{2}\frac{p^2}{mkT}}dp\)
Gj?r substitusjon med \(u=\frac{1}{2}\frac{p^2}{mkT} \rightarrow dp = \frac{mkT}{p}du\). Og \(p^3=(2umkT)^{\frac{3}{2}}\).
\(\begin{equation} \begin{split} P & = \frac{1}{3}\frac{n}{m}(\frac{1}{2\pi mkT})^\frac{3}{2}4\pi\int_0^\infty mkT*(2umkT)^\frac{3}2{}e^{-u}du \\ & = \frac{1}{3}\frac{n}{m}(\frac{1}{\pi})^\frac{3}{2}4\pi mkT\int_0^\infty u^{\frac{3}{2}}e^{-u}du \\ & = \frac{4}{3}\frac{n}{m}\frac{1}{\sqrt{\pi}}mkT\frac{3}{4}\sqrt{\pi} \\ & = nkT \end{split} \end{equation}\)
Hvor vi i siste overgang bruker at \(\int_0^\infty u^\frac{3}{2}e^{-u}du = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}\), som Frode Kristian Hansen fortalte oss om den gang han forkynte om forelesningsnotat 1A.
N? b?r prof. Elmi v?re forn?yd! Han fikk endelig det uttrykket han lengtet etter: En enkel formel som beskriver trykket i gasskammeret, \(P=nkT\).
En annen variabel vi m? ta h?yde for, er den kinetiske energien til partiklene. Som dere forh?pentligvis husker, er den kinetiske energien til et legeme gitt ved \(E_k=\frac{1}{2}mv^2\), hvor m er massen og v er farten til legemet. Vi har alts? at enhver partikkel i kammeret har en kinetisk energi, definert av uttrykket over. Det vi er interessert i ? vite, er hva den gjennomsnittlige kinetiske energien til en partikkel er ved en gitt temperatur T. Denne gangen viser prof. Elmi oss hvordan han utleder uttrykket vi trenger. Som med ideell-gass-loven, er matten en smule avansert. Vi anbefaler dere ? hoppe over utledningen med mindre dere er komfortable med mer integralregning!
Vi har at \(\langle E_k \rangle = \langle \frac{1}{2}mv^2 \rangle = \frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle\). Vi trenger derfor ? finne et uttrykk for \(\langle v^2 \rangle\). Tidligere i bloggen fant vi \(\langle v \rangle\). N? gj?r vi samme type utregning:
\(\begin{equation} \begin{split} \langle v^2 \rangle & =\int_0^\infty v^2P(v)dv \\ & = 4\pi (\frac{m}{2\pi kT})^\frac{3}{2}\int_0^\infty v^4e^{-\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}}dv \end{split} \end{equation}\)
Gj?r substitusjon med \(u=\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}\rightarrow dv=\frac{kT}{mv}du\). Vi har ogs? at \(v^3=(\frac{2kTu}{m})^{\frac{3}{2}}\). Dette gir:
\(\begin{equation} \begin{split} \langle v^2 \rangle & = 4\pi (\frac{m}{2\pi kT})^{\frac{3}{2}}\int_0^\infty\frac{kT}{m}(\frac{2kTu}{m})^{\frac{3}{2}}e^udu \\ & = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \frac{kT}{m}\frac{3}{4}\sqrt{\pi} \\ & = 3\frac{kT}{m} \end{split} \end{equation}\)
Hvor vi i siste overgang har brukt samme identitet som i utledningen av ideell-gass-lov. Vi f?r dermed at \(\langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m*3\frac{kT}{m}=\frac{3}{2}kT\)
Vi st?r alts? igjen med to elegante formler som henholdsvis beskriver trykket i kammeret og den gjennomsnittlige kinetiske energien til en gasspartikkel: \(P = nkT\) og \(\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT\). Her er \(T\) temperaturen til gassen i kelvin, \(k\) Boltzmanns konstant og \(n\) antall partikler per volumenhet. Disse uttrykkene gir oss et enda bedre blikk p? hva som skjer inni gasskammeret under oppskytning, dette er uvurdelig kunnskap!
Vi er klar over at dette innlegget har v?rt litt teoretisk og teknisk, men n? forst?r vi enda bedre hva det er som skjer i kammeret under oppskytning. Det er p? tide at vi tar et skritt tilbake og beundrer kreasjonen v?r. Kanskje vi faktisk er klare for oppskytning?! Sjekk her da vel!